Номер 528 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм.

$M$ — середина стороны $A D$ ( $A M = M D$ ).

$N$ — середина стороны $BC$ ( $BN = NC$ ).

Диагональ $B D$ пересекается с прямыми $A N$ и $MC$ в точках $P$ и $K$ соответственно.

Доказать:

Прямые делят диагональ на три равные части:

BP = P K = KD .

Доказательство:

Чертёж к задаче 528 — прямые AN и MC делят диагональ параллелограмма на три равные части

1) Рассмотрим четырёхугольник $A MCN$ .

Так как $A BC D$ — параллелограмм, его противоположные стороны $A D$ и $BC$ равны и параллельны.

Точки $M$ и $N$ — середины этих сторон, следовательно, отрезки $A M$ и $NC$ также равны и параллельны:

A M = NC, A M ∥ NC .

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то он является параллелограммом. Значит, $A MCN$ — параллелограмм.

Отсюда следует, что его другие противоположные стороны также параллельны:

A N ∥ MC .

2) Рассмотрим треугольник $BC K$ .

Отрезок $NP$ лежит на прямой $A N$ , а значит, параллелен стороне $C K$ (так как $A N ∥ MC$ ).

При этом точка $N$ является серединой стороны $BC$ . По теореме Фалеса (или свойству средней линии треугольника), прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, делит третью сторону пополам:

BP = P K .

3) Аналогично рассмотрим треугольник $D A P$ .

Отрезок $M K$ лежит на прямой $MC$ и параллелен стороне $A P$ . Точка $M$ является серединой стороны $A D$ .

По теореме Фалеса прямая $M K$ делит сторону $D P$ пополам:

DK = P K .

4) Объединяя оба полученных равенства, мы имеем:

BP = P K, и P K = KD .

Следовательно, все три отрезка равны между собой:

BP = P K = KD .

Вывод: Прямые $A N$ и $MC$ делят диагональ $B D$ на три равные части. Что и требовалось доказать.

Номер 528 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели