Номер 532 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Решение:

1) В квадрате диагональ делит углы пополам. Следовательно, диагональ $AC$ является биссектрисой прямых углов $A$ и $C$. Отсюда следует, что:

2) Рассмотрим треугольник $ACM$.

По условию прямая $MN$ перпендикулярна $AC$, а значит $\angle MAC=90^{\circ }$. Следовательно, треугольник $ACM$ — прямоугольный.

Мы уже выяснили, что острый угол $\angle MCA=45^{\circ }$.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }$. Найдём второй острый угол:

3) Так как в треугольнике $ACM$ два угла равны ($\angle M=\angle MCA=45^{\circ }$), то этот треугольник является равнобедренным.

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны, поэтому:

4) Абсолютно аналогичные рассуждения применимы к треугольнику $ACN$.

Он также прямоугольный ($\angle NAC=90^{\circ }$) и имеет острый угол $\angle NCA=45^{\circ }$.

Следовательно, он тоже равнобедренный, и его катеты равны:

5) Искомый отрезок $MN$ состоит из суммы двух отрезков $AM$ и $AN$, так как точка $A$ лежит на отрезке $MN$: