№524. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.
Дано:
— параллелограмм.
(смежные стороны не равны).
Проведены биссектрисы всех углов.
— четырёхугольник, образованный при их пересечении.
Доказать:
— прямоугольник.
Доказательство:
1) Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне (односторонних углов), равна . Например, для углов и :
2) Рассмотрим биссектрисы этих углов. Они пересекаются в точке и делят углы и пополам.
Значит, сумма половин этих углов равна половине от :
3) Рассмотрим треугольник . Сумма его углов равна . Найдём третий угол :
4) Во внутреннем четырёхугольнике угол является вертикальным к углу (так как биссектрисы образуют прямые, пересекающиеся в точке ). А вертикальные углы равны:
5) Абсолютно аналогично рассматриваются треугольники, образованные пересечениями других биссектрис (), и доказывается, что все остальные внутренние углы четырёхугольника также прямые:
6) Так как в полученном четырёхугольнике все углы прямые (по ), он является прямоугольником по определению.
Вывод: При пересечении биссектрис образуется прямоугольник. Что и требовалось доказать.
