Номер 527 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ .

$A M$ — медиана ( $BM = MC$ ).

$K$ — середина медианы $A M$ ( $A K = K M$ ).

Прямая $B K$ пересекает сторону $A C$ в точке $D$ .

Доказать:

$A D = \frac{1}{3} A C$ .

Доказательство:

Чертёж к задаче 527 — применение теоремы Фалеса при проведении дополнительной параллельной прямой

1) Сделаем дополнительное построение: через точку $M$ проведём прямую, параллельную $B D$ . Пусть эта прямая пересекает сторону $A C$ в точке $E$ . Значит, $ME ∥ B D$ .

2) Рассмотрим угол $C$ и треугольник $B D C$ .

Прямые $ME$ и $B D$ параллельны. Точка $M$ является серединой стороны $BC$ (так как $A M$ — медиана). По теореме Фалеса параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. Следовательно, точка $E$ делит отрезок $D C$ пополам:

D E = EC .

3) Теперь рассмотрим угол $A$ и треугольник $A ME$ .

В нём прямая $KD$ (часть прямой $B D$ ) параллельна прямой $ME$ . Точка $K$ является серединой стороны $A M$ (по условию). Снова применяя теорему Фалеса, получаем, что точка $D$ делит отрезок $A E$ пополам:

A D = D E .

4) Объединяя полученные равенства из пунктов 2 и 3, мы видим, что отрезки равны между собой:

A D = D E = EC .

5) Вся сторона $A C$ состоит из суммы этих трёх отрезков:

A C = A D + D E + EC = 3 A D .

6) Разделив обе части на $3$ , находим длину отрезка $A D$ :

A D = \frac{1}{3} A C .

Вывод: Отрезок $A D$ действительно равен одной трети стороны $A C$ . Что и требовалось доказать.

Номер 527 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели