№576. В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.
Дано:
— выпуклый четырёхугольник,
Доказать:
Доказательство:
1) Площадь четырёхугольника можно представить как сумму площадей двух треугольников: и :
2) Так как диагонали перпендикулярны (), то отрезки и являются высотами треугольников и соответственно, проведёнными к общему основанию :
3) Запишем площади этих треугольников:
4) Сложим площади и вынесем общий множитель за скобки:
Ответ: Ч.т.д.
