Номер 630 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$ — треугольник

$A B = 13 см$

$BC = 14 см$

$A C = 15 см$

Точка $M$ внутри $△ A BC$

$MP ⊥ A B$ , $MP = 6 см$

$MQ ⊥ A C$ , $MQ = 2 см$

Найти:

$MR$ — расстояние от $M$ до $BC$ ( $MR ⊥ BC$ )

Чертёж к задаче 630 — треугольник ABC, точка M внутри, проведены перпендикуляры MP, MQ, MR к сторонам

Решение:

1) Соединим точку $M$ с вершинами треугольника $A BC$ . Площадь всего треугольника $A BC$ равна сумме площадей трёх образовавшихся треугольников: $△ A MB$ , $△ A MC$ и $△ BMC$ .

S_{A BC} = S_{A MB} + S_{A MC} + S_{BMC}

2) Найдём площадь $△ A BC$ по формуле Герона. Сначала вычислим полупериметр $p$ :

p = \frac{A B + BC + A C}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 см

Теперь найдём площадь $S_{A BC}$ :

S_{A BC} = p (p - A B) (p - BC) (p - A C)

S_{A BC} = 21 (21 - 13) (21 - 14) (21 - 15) = = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = = (7 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 4) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) = = 7^{2} \cdot 3^{2} \cdot 4 \cdot 2^{2} = 7 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = = 84 см^{2}

3) Выразим площади трёх маленьких треугольников через их основания (стороны $△ A BC$ ) и высоты (перпендикуляры из точки $M$ ):

$S_{A MB} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot MP = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 13 \cdot 3 = 39 см^{2}$
$S_{A MC} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot MQ = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 2 = 15 см^{2}$
$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MR = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot x = 7 x$ , где $MR = x$

4) Подставим найденные площади в исходное равенство площадей (шаг 1):

84 = 39 + 15 + 7 x

84 = 54 + 7 x

7 x = 84 - 54

7 x = 30

x = \frac{30}{7} = 4 \frac{2}{7} см

Ответ: $4 \frac{2}{7} см$ .

Номер 630 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели