Номер 628 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ и $A MN K$ — квадраты

$A B = A D = A M = A K = a$ (стороны квадратов)

$A$ — общая вершина

Сторона $A M$ лежит на диагонали $A C$

Найти:

$S_{общ}$ (площадь общей части квадратов)

Чертёж к задаче 628 — два квадрата ABCD и AMNK с общей вершиной A, сторона AM лежит на диагонали AC

Решение:

1) Диагональ квадрата образует с его сторонами угол $4 5^{\circ}$ . Поэтому в квадрате $A BC D$ угол $∠ C A D = 4 5^{\circ}$ .

2) В квадрате $A MN K$ диагональ $A N$ делит прямой угол $∠ M A N = 9 0^{\circ}$ пополам, то есть $∠ M A N = 4 5^{\circ}$ .

Так как сторона $A M$ лежит на диагонали $A C$ (по условию), то углы $∠ C A D$ и $∠ M A N$ совпадают, а значит, диагональ $A N$ второго квадрата лежит на луче $A D$ (содержит сторону первого квадрата).

3) Найдём длины отрезков. Сторона квадрата равна $a$ , поэтому диагональ квадрата $A N = a 2$ .

Отрезок $A D = a$ . Тогда оставшаяся часть диагонали, отрезок $D N$ , равен:

D N = A N - A D = a 2 - a = a (2 - 1)

4) Площадь общей части (четырёхугольник $A D PM$ ) можно найти, вычтя из площади треугольника $△ A MN$ (половины второго квадрата) площадь маленького прямоугольного треугольника $△ P D N$ :

S_{общ} = S_{△ A MN} - S_{△ P D N}

5) Площадь $△ A MN$ равна половине площади квадрата со стороной $a$ :

S_{△ A MN} = \frac{1}{2} A M^{2} = \frac{1}{2} a^{2}

6) Рассмотрим $△ P D N$ . Он прямоугольный ( $∠ D = 9 0^{\circ}$ ), а угол $∠ N = 4 5^{\circ}$ (так как диагональ квадрата $A N$ образует со стороной $MN$ угол $4 5^{\circ}$ ).

Значит, $△ P D N$ — равнобедренный, и его катеты равны: $P D = D N = a (2 - 1)$ .

7) Найдём площадь $△ P D N$ :

S_{△ P D N} = \frac{1}{2} P D \cdot D N = = \frac{1}{2} (a (2 - 1))^{2} = = \frac{1}{2} a^{2} (2 - 22 + 1) = = \frac{1}{2} a^{2} (3 - 22)

8) Вычислим искомую площадь общей части:

S_{общ} = \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a^{2} (3 - 22) = = \frac{1}{2} a^{2} (1 - 3 + 22) = = \frac{1}{2} a^{2} (22 - 2) = a^{2} (2 - 1)

Ответ: $a^{2} (2 - 1)$ .

Номер 628 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели