Номер 631 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — ромб

$B H$ — высота, $B H = \frac{4 2}{3} см$

$B H = \frac{2}{3} A C$ , $A C$ — большая диагональ

Найти:

$S_{A BC D}$

Решение:

1) Находим большую диагональ и её половину:

A C = B H : \frac{2}{3} = \frac{4 2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 22 \Rightarrow A O = 2

2) Пусть $BO = x$ . Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому в $△ A OB$ по теореме Пифагора сторона $a$ равна:

a = A O^{2} + B O^{2} = 2 + x^{2}

3) Записываем площадь двумя способами:

S = a \cdot h = a \cdot \frac{4 2}{3} и S = \frac{1}{2} A C \cdot B D = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 2 x = 2 x 2

4) Приравниваем и выражаем сторону:

a \cdot \frac{4 2}{3} = 2 x 2 \Rightarrow \frac{2}{3} a = x \Rightarrow a = 1, 5 x

5) Подставляем в теорему Пифагора:

(1, 5 x)^{2} = 2 + x^{2} \Rightarrow 2, 25 x^{2} - x^{2} = 2 \Rightarrow 1, 25 x^{2} = 2

x^{2} = 1, 6 = \frac{8}{5} \Rightarrow x = \frac{2 2}{5}

6) Находим сторону ромба:

a = 1, 5 x = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 2}{5} = \frac{3 2}{5}

7) Вычисляем площадь:

S = a \cdot h = \frac{3 2}{5} \cdot \frac{4 2}{3} = \frac{8}{5} = \frac{8 5}{5} см^{2}

Ответ: $\frac{8 5}{5} см^{2}$ .