Номер 634 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№634. Диагонали четырёхугольника равны 16 см и 20 см и пересекаются под углом в $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь этого четырёхугольника.

Дано:

$A BC D$ — четырёхугольник

$A C = 20 см$ , $B D = 16 см$

$A C \cap B D = O$ , $∠ A OB = 3 0^{\circ}$

Найти:

$S_{A BC D}$

Решение:

1) Проведём $B H ⊥ A C$ и $DK ⊥ A C$ .

2) В $△ B H O$ ( $∠ H = 9 0^{\circ}$ ) угол $∠ BO H = 3 0^{\circ}$ , а катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы:

B H = \frac{1}{2} BO

3) В $△ DK O$ ( $∠ K = 9 0^{\circ}$ ) угол $∠ D O K = ∠ A OB = 3 0^{\circ}$ как вертикальный, поэтому

DK = \frac{1}{2} D O

4) Диагональ $A C$ разбивает четырёхугольник на два треугольника:

S_{A BC D} = S_{A BC} + S_{A D C} = \frac{1}{2} A C \cdot B H + \frac{1}{2} A C \cdot DK

= \frac{1}{2} A C (B H + DK) = \frac{1}{2} A C (\frac{1}{2} BO + \frac{1}{2} D O) = \frac{1}{4} A C \cdot B D

S_{A BC D} = \frac{1}{4} \cdot 20 \cdot 16 = 80 см^{2}

Ответ: $80 см^{2}$ .