Номер 637 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC$

$B H$ — высота, $B H ⊥ A C$

Доказать:

а) $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A C \cdot A H$

б) $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} + 2 A C \cdot A H$

Случай а) — угол $A$ острый:

1) В $△ B H C$ ( $∠ H = 9 0^{\circ}$ ) по теореме Пифагора:

B C^{2} = B H^{2} + H C^{2}

2) Точка $H$ лежит на стороне $A C$ , поэтому

H C = A C - A H \Rightarrow H C^{2} = (A C - A H)^{2}

3) В $△ A H B$ ( $∠ H = 9 0^{\circ}$ ):

B H^{2} = A B^{2} - A H^{2}

4) Подставляем:

B C^{2} = A B^{2} - A H^{2} + (A C - A H)^{2}

= A B^{2} - A H^{2} + A C^{2} - 2 A C \cdot A H + A H^{2}

= A B^{2} + A C^{2} - 2 A C \cdot A H

Случай б) — угол $A$ тупой:

1) В $△ B H C$ ( $∠ H = 9 0^{\circ}$ ) по теореме Пифагора:

B C^{2} = B H^{2} + H C^{2}

2) Так как $∠ A > 9 0^{\circ}$ , точка $H$ лежит на продолжении $C A$ за точку $A$ , поэтому

H C = A H + A C \Rightarrow H C^{2} = (A H + A C)^{2}

3) В $△ A H B$ ( $∠ H = 9 0^{\circ}$ ):

B H^{2} = A B^{2} - A H^{2}

4) Подставляем:

B C^{2} = A B^{2} - A H^{2} + (A H + A C)^{2}

= A B^{2} - A H^{2} + A H^{2} + 2 A C \cdot A H + A C^{2}

= A B^{2} + A C^{2} + 2 A C \cdot A H

Ответ: оба равенства доказаны: знак перед $2 A C \cdot A H$ определяется тем, лежит основание высоты на стороне $A C$ или на её продолжении.