Номер 624 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — равнобедренная трапеция

$A C ⊥ B D$ (диагонали перпендикулярны)

$C K = h$ (высота трапеции)

Найти:

$S_{A BC D}$ (площадь трапеции)

Решение:

1) Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $B D$ , до пересечения с продолжением основания $A D$ в точке $E$ .

Четырёхугольник $BCE D$ — параллелограмм (так как противоположные стороны параллельны по построению). Следовательно, $CE = B D$ и $D E = BC$ .

2) В равнобедренной трапеции диагонали равны: $A C = B D$ . Отсюда получаем, что $A C = CE$ .

Поскольку $A C ⊥ B D$ и $CE ∥ B D$ , то $A C ⊥ CE$ , то есть $∠ A CE = 9 0^{\circ}$ .

3) Рассмотрим $△ A CE$ . Он является прямоугольным равнобедренным ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = CE$ ).

Высота $C K$ , проведённая из прямого угла к гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы:

C K = \frac{1}{2} A E ⟹ A E = 2 C K = 2 h

4) Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Заметим, что сумма оснований равна длине отрезка $A E$ :

A D + BC = A D + D E = A E

Подставим это в формулу площади:

S_{A BC D} = \frac{A D + BC}{2} \cdot C K = \frac{A E}{2} \cdot h = \frac{2 h}{2} \cdot h = h \cdot h = h^{2}

Ответ: $h^{2}$ .