Номер 626 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — четырёхугольник

$A C ⊥ B D$ (диагонали взаимно перпендикулярны)

Доказать:

$A D^{2} + B C^{2} = A B^{2} + C D^{2}$

Чертёж к задаче 626 — четырёхугольник ABCD со взаимно перпендикулярными диагоналями

Доказательство:

1) Обозначим точку пересечения диагоналей $A C$ и $B D$ буквой $O$ . Так как по условию диагонали взаимно перпендикулярны ( $A C ⊥ B D$ ), то все четыре треугольника, образованные при пересечении диагоналей ( $△ A OB$ , $△ BOC$ , $△ CO D$ и $△ A O D$ ), являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $O$ .

2) Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников, содержащих стороны $A D$ и $BC$ :

Для $△ A O D$ : $A D^{2} = A O^{2} + D O^{2}$

Для $△ BOC$ : $B C^{2} = B O^{2} + C O^{2}$

Сложим эти два равенства почленно:

A D^{2} + B C^{2} = A O^{2} + D O^{2} + B O^{2} + C O^{2} (1)

3) Аналогично запишем теорему Пифагора для двух других треугольников, содержащих стороны $A B$ и $C D$ :

Для $△ A OB$ : $A B^{2} = A O^{2} + B O^{2}$

Для $△ CO D$ : $C D^{2} = C O^{2} + D O^{2}$

Сложим эти два равенства почленно:

A B^{2} + C D^{2} = A O^{2} + B O^{2} + C O^{2} + D O^{2} (2)

4) Сравнивая выражения (1) и (2), мы видим, что их правые части абсолютно одинаковы — это сумма квадратов всех четырёх отрезков диагоналей: $A O^{2} + B O^{2} + C O^{2} + D O^{2}$ .

Следовательно, равны и их левые части:

A D^{2} + B C^{2} = A B^{2} + C D^{2}

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Номер 626 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели