Номер 736 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

отрезки $a$ , $m_{1}$ , $m_{2}$

Построить:

$△ A BC$ : $A B = a$ ,

медианы $A A_{1} = m_{1}, B B_{1} = m_{2}$

Чертёж к задаче 736 — треугольник ABC с медианами AA₁ и BB₁, пересекающимися в точке O, и треугольник ABO

Решение:

Медианы треугольника пересекаются в точке $O$ , которая делит каждую из них в отношении $2 : 1$ , считая от вершины. Поэтому в треугольнике $A BO$ известны все стороны:

A B = a, A O = \frac{2}{3} m_{1}, BO = \frac{2}{3} m_{2}

Построение:

1) Разделим отрезки $m_{1}$ и $m_{2}$ на три равные части (как в задаче 691) и построим треугольник $A BO$ по трём сторонам.

2) На продолжениях $A O$ и $BO$ за точку $O$ отложим $O A_{1} = \frac{1}{3} m_{1}$ и $O B_{1} = \frac{1}{3} m_{2}$ .

3) Прямые $B A_{1}$ и $A B_{1}$ пересекутся в точке $C$ .

Доказательство:

$A O : O A_{1} = BO : O B_{1} = 2 : 1$ , углы $A OB$ и $A_{1} O B_{1}$ вертикальные, поэтому $△ A_{1} O B_{1} \sim △ A OB$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$ : $A_{1} B_{1} ∥ A B$ и $A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} A B$ .

Тогда $△ C A_{1} B_{1} \sim △ CB A$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$ , т. е. $C A_{1} = \frac{1}{2} CB$ и $C B_{1} = \frac{1}{2} C A$ . Значит, $A A_{1}$ и $B B_{1}$ — медианы, $A A_{1} = m_{1}$ , $B B_{1} = m_{2}$ .

Задача имеет решение, если из отрезков $a, \frac{2}{3} m_{1}, \frac{2}{3} m_{2}$ можно составить треугольник.

Ответ: треугольник $A BC$ , построенный по описанному плану, — искомый.

Номер 736 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели