Номер 625 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — равнобедренная трапеция

$A C ⊥ B D$ (диагонали перпендикулярны)

$A D + BC = 2 a$ (сумма оснований)

Найти:

$S_{A BC D}$ (площадь трапеции)

Чертёж к задаче 625 — равнобедренная трапеция со взаимно перпендикулярными диагоналями

Решение:

1) Проведём через вершину $C$ прямую $CE ∥ B D$ до пересечения с продолжением основания $A D$ в точке $E$ .

Полученный четырёхугольник $BCE D$ — параллелограмм, так как $BC ∥ D E$ и $B D ∥ CE$ . Из свойств параллелограмма следует, что $CE = B D$ и $D E = BC$ .

2) В равнобедренной трапеции диагонали равны ( $A C = B D$ ), а значит, $A C = CE$ .

Поскольку $A C ⊥ B D$ , то $A C ⊥ CE$ , и $∠ A CE = 9 0^{\circ}$ .

3) Рассмотрим прямоугольный равнобедренный $△ A CE$ . Проведём высоту $C K$ к гипотенузе $A E$ (она же является высотой трапеции).

Длина гипотенузы $A E$ равна сумме оснований трапеции:

A E = A D + D E = A D + BC = 2 a

4) В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Найдём высоту $C K$ :

C K = \frac{1}{2} A E = \frac{2 a}{2} = a

5) Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

S_{A BC D} = \frac{A D + BC}{2} \cdot C K = \frac{2 a}{2} \cdot a = a \cdot a = a^{2}

Ответ: $a^{2}$ .

Номер 625 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели