№623. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если:
а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен 45°;
б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Случай а)
Дана равнобедренная трапеция , где меньшее основание , высота и острый .
1) Рассмотрим прямоугольный (). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна :
Так как , то — равнобедренный. Следовательно, катеты равны: .
2) Проведём вторую высоту . Четырёхугольник является прямоугольником, поэтому .
3) Так как трапеция равнобедренная, то прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу. Значит, .
Найдём большее основание :
4) Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Случай б)
Дана равнобедренная трапеция с основаниями , и взаимно перпендикулярными диагоналями .
1) Проведём через вершину прямую до пересечения с продолжением основания в точке .
Четырёхугольник является параллелограммом (так как и ). Отсюда следует, что и .
2) Так как и , то .
В равнобедренной трапеции диагонали равны (). Значит, .
Следовательно, — прямоугольный равнобедренный с прямым углом при вершине .
3) Проведём высоту к гипотенузе (она же является высотой трапеции). В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна её половине:
4) Площадь трапеции равна:
Ответ: а) ; б) .
