Номер 642 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№642. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Дано:

$A D$ — биссектриса $△ A BC$

Доказать:

$\frac{B D}{A B} = \frac{C D}{A C}$

Решение:

$△ A B D$ и $△ A C D$ имеют общую высоту $A H$ , поэтому

\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{B D}{C D}

С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу ( $∠1 = ∠2$ ), поэтому

\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{A B \cdot A D}{A C \cdot A D} = \frac{A B}{A C}

Из двух равенств для отношения площадей получаем:

\frac{B D}{C D} = \frac{A B}{A C}, или \frac{B D}{A B} = \frac{C D}{A C}

Ответ: Доказано.