№351. Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30∘. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
Дано:
окружность(O;r)
AB−диаметр,AC−хорда
∠BAC=30∘
CD−касательная,D∈AB
Доказать:
△ACD−равнобедренный
Доказательство:
1)OA=OC=r⇒△AOCравнобедренный
∠ACO=∠CAO=30∘
2)∠AOC=180∘−2⋅30∘=120∘
3)∠CODсмежныйс∠AOC:∠COD=180∘−120∘=60∘
4)OC⊥CD(радиусвточкукасания)⇒∠OCD=90∘
5)в△OCD:∠ODC=180∘−90∘−60∘=30∘
6)∠ADC=∠DAC=30∘⇒△ACDравнобедренный,CA=CD
Ответ:CA=CD, треугольник ACD равнобедренный — что и требовалось доказать.
