Номер 718 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№718. Два шеста $A B$ и $C D$ разной длины $a$ и $b$ установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 241. Концы $A$ и $D$ , $B$ и $C$ соединены верёвками, которые пересекаются в точке $O$ . По данным рисунка докажите, что: а) $\frac{m}{d} = \frac{x}{b}$ и $\frac{n}{d} = \frac{x}{a}$ ; б) $\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$ . Найдите $x$ и докажите, что $x$ не зависит от расстояния $d$ между шестами $A B$ и $C D$ .

Дано:

$A B = a, C D = b, A B ⊥ A C, C D ⊥ A C$

$A D \cap BC = O, O H ⊥ A C$

$O H = x, A H = m, H C = n, A C = d$

Доказать:

а) $\frac{m}{d} = \frac{x}{b}, \frac{n}{d} = \frac{x}{a}$

б) $\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$

найти $x$ и доказать, что $x$ не зависит от $d$

Чертёж к задаче 718 — два вертикальных шеста AB и CD, верёвки AD и BC пересекаются в точке O на высоте x

Доказательство:

а) $O H ∥ C D$ (обе перпендикулярны $A C$ ), поэтому $△ A H O \sim △ A C D$ ( $∠ A$ — общий, $∠ H = ∠ C = 9 0^{\circ}$ ):

\frac{A H}{A C} = \frac{O H}{D C} \Rightarrow \frac{m}{d} = \frac{x}{b}

Аналогично $△ C H O \sim △ C A B$ :

\frac{C H}{C A} = \frac{O H}{B A} \Rightarrow \frac{n}{d} = \frac{x}{a}

б) Сложим равенства пункта а):

\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = \frac{n}{d} + \frac{m}{d} = \frac{m + n}{d} = 1

Отсюда:

x \cdot \frac{a + b}{ab} = 1 \Rightarrow x = \frac{ab}{a + b}

В эту формулу $d$ не входит, значит, $x$ не зависит от расстояния между шестами.

Ответ: $x = \frac{ab}{a + b}$ ; $x$ не зависит от $d$ .

Номер 718 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели