Номер 719 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№719. Докажите, что треугольники $A BC$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ подобны, если: а) $\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}} = \frac{BM}{B _{1} M _{1}}$ , где $BM$ и $B_{1} M_{1}$ — медианы треугольников; б) $∠ A = ∠ A_{1}$ , $\frac{A C}{A _{1} C _{1}} = \frac{B H}{B _{1} H _{1}}$ , где $B H$ и $B_{1} H_{1}$ — высоты треугольников $A BC$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Дано:

а) $\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}} = \frac{BM}{B _{1} M _{1}}$ , $BM$ , $B_{1} M_{1}$ — медианы

б) $∠ A = ∠ A_{1}, \frac{A C}{A _{1} C _{1}} = \frac{B H}{B _{1} H _{1}}$ , $B H$ , $B_{1} H_{1}$ — высоты

Доказать:

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$

Доказательство:

а)

Чертёж к задаче 719 — треугольники ABC и A₁B₁C₁ с медианами BM и B₁M₁

Медианы делят стороны $A C$ и $A_{1} C_{1}$ пополам, поэтому $\frac{A M}{A _{1} M _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}}$ . Тогда

\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{A M}{A _{1} M _{1}} = \frac{BM}{B _{1} M _{1}} \Rightarrow △ A BM \sim △ A_{1} B_{1} M_{1}

по третьему признаку подобия, откуда $∠ A = ∠ A_{1}$ . У треугольников $A BC$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ $\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}}$ и $∠ A = ∠ A_{1}$ , значит, они подобны по второму признаку.

б)

Чертёж к задаче 719 — треугольники ABC и A₁B₁C₁ с высотами BH и B₁H₁

Прямоугольные треугольники $A B H$ и $A_{1} B_{1} H_{1}$ подобны: их острые углы при вершинах $A$ и $A_{1}$ равны (если угол $A$ тупой — равны смежные с ними углы, если прямой — $H = A$ и $B H = A B$ ). Поэтому

\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{B H}{B _{1} H _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}}

Вместе с $∠ A = ∠ A_{1}$ это даёт $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ по второму признаку подобия.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 719 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели