Номер 711 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№711. Диагональ $A C$ трапеции $A BC D$ делит её на два подобных треугольника. Докажите, что $A C^{2} = a \cdot b$ , где $a$ и $b$ — основания трапеции.

Дано:

$A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$

$A D = a, BC = b$

треугольники $A BC$ и $A C D$ подобны

Доказать:

$A C^{2} = a \cdot b$

Чертёж к задаче 711 — трапеция ABCD, диагональ AC делит её на подобные треугольники ABC и DCA

Доказательство:

$∠ BC A = ∠ C A D$ — накрест лежащие углы при $BC ∥ A D$ и секущей $A C$ . Треугольники подобны, поэтому остальные углы $B A C$ и $A BC$ равны углам $A C D$ и $A D C$ в некотором порядке.

Если бы $∠ B A C = ∠ A C D$ , то $A B ∥ C D$ и $A BC D$ был бы параллелограммом. Значит, $∠ A BC = ∠ A C D$ , $∠ B A C = ∠ A D C$ и

△ A BC \sim △ D C A

\frac{BC}{C A} = \frac{C A}{A D} \Rightarrow A C^{2} = BC \cdot A D = a \cdot b

Ответ: утверждение доказано.

Номер 711 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели