Номер 724 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№724. Точки $M$ и $N$ являются соответственно серединами сторон $C D$ и $BC$ параллелограмма $A BC D$ . Докажите, что прямые $A M$ и $A N$ делят диагональ $B D$ на три равные части.

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм

$M$ — середина $C D$ , $N$ — середина $BC$

$A N \cap B D = P, A M \cap B D = Q$

Доказать:

$BP = PQ = Q D$

Чертёж к задаче 724 — параллелограмм ABCD, прямые AN и AM пересекают диагональ BD в точках P и Q

Доказательство:

Проведём диагональ $A C$ . Диагонали параллелограмма точкой пересечения $O$ делятся пополам: $A O = OC$ , $BO = O D$ .

В треугольнике $A BC$ отрезки $A N$ и $BO$ — медианы, $P$ — точка их пересечения. Медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины:

BP = \frac{2}{3} BO = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} B D = \frac{1}{3} B D

Аналогично в треугольнике $A C D$ медианы $A M$ и $D O$ пересекаются в точке $Q$ :

D Q = \frac{2}{3} D O = \frac{1}{3} B D

PQ = B D - BP - D Q = \frac{1}{3} B D

Ответ: утверждение доказано.

Номер 724 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели