Номер 725 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№725. Биссектриса внешнего угла при вершине $A$ треугольника $A BC$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$ . Докажите, что $\frac{B D}{A B} = \frac{D C}{A C}$ .

Дано:

$△ A BC$ , $E$ — точка на продолжении $C A$ за точку $A$

$A D$ — биссектриса угла $B A E$ , $D$ лежит на прямой $BC$

Доказать:

$\frac{B D}{A B} = \frac{D C}{A C}$

Чертёж к задаче 725 — треугольник ABC, биссектриса AD внешнего угла и перпендикуляры DK и DL

Доказательство:

Пусть точка $B$ лежит между $C$ и $D$ . Площади треугольников с равными высотами относятся как их основания.

1) У треугольников $A B D$ и $A C D$ общая высота, проведённая из вершины $A$ к прямой $D C$ :

\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{B D}{D C}

2) Проведём $DK ⊥ A B$ и $D L ⊥ A C$ . Прямоугольные треугольники $A DK$ и $A D L$ равны по гипотенузе $A D$ и острому углу $∠ D A K = ∠ D A L$ , поэтому $DK = D L$ . Это высоты треугольников $A B D$ и $A C D$ , проведённые к сторонам $A B$ и $A C$ :

\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{A B}{A C}

Из 1) и 2):

\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} \Rightarrow \frac{B D}{A B} = \frac{D C}{A C}

Ответ: утверждение доказано.

Номер 725 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели