Номер 807 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — выпуклый четырёхугольник

$A B + C D = BC + A D$

Доказать:

в $A BC D$ можно вписать окружность

Чертёж к задаче 807 — выпуклый четырёхугольник, окружность, касающаяся трёх сторон, и точка D′

Доказательство:

Биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются в некоторой точке $O$ , равноудалённой от прямых $A B$ , $BC$ и $C D$ . Окружность с центром $O$ этого радиуса касается сторон $A B$ , $BC$ и $C D$ .

Предположим, что сторона $A D$ не касается этой окружности. Проведём из точки $A$ вторую касательную к окружности; она пересечёт сторону $C D$ в точке $D^{'}$ , отличной от $D$ .

Четырёхугольник $A BC D^{'}$ описан около окружности, поэтому

A B + C D^{'} = BC + A D^{'}

Вычтем это равенство из данного $A B + C D = BC + A D$ :

C D - C D^{'} = A D - A D^{'} \Rightarrow D D^{'} = A D - A D^{'}

Но в треугольнике $A D D^{'}$ сторона $D D^{'}$ больше разности двух других сторон. Полученное равенство означает, что треугольника нет, т. е. точка $D^{'}$ совпадает с $D$ .

Значит, сторона $A D$ тоже касается окружности, и в четырёхугольник $A BC D$ можно вписать окружность.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 807 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели