№806. Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.
Дано:
— трапеция,
прямые и касаются окружности с центром
и — середины боковых сторон
Доказать:
прямая проходит через точку
Доказательство:
Расстояние от центра до каждой из касательных равно радиусу , поэтому лежит посередине между параллельными прямыми и , а расстояние между ними равно — это высота трапеции.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и удалена от каждого из них на половину высоты, т. е. на .
Значит, прямая — это прямая, проходящая между параллельными прямыми на расстоянии от каждой, а такая прямая единственна. Точка лежит на ней.
Ответ: утверждение доказано.
