Номер 808 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№808. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями $a$ и $b$ .

Дано:

$A BC D$ — прямоугольная трапеция, $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$

$A D = a$ , $BC = b$ , в трапецию вписана окружность

Найти:

$r$

Решение:

Боковая сторона $A B$ перпендикулярна основаниям, поэтому она равна высоте трапеции: $A B = 2 r$ . Вторая боковая сторона по теореме Пифагора:

C D = (2 r)^{2} + (a - b)^{2}

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны:

a + b = 2 r + 4 r^{2} + (a - b)^{2}

(a + b - 2 r)^{2} = 4 r^{2} + (a - b)^{2}

4 ab - 4 r (a + b) = 0 \Rightarrow r = \frac{ab}{a + b}

Ответ: $r = \frac{ab}{a + b}$ .