№812. Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.
Дано:
— трапеция,
— четырёхугольник, образованный биссектрисами её углов
Доказать:
около можно описать окружность
Доказательство:
Углы и — односторонние при и секущей , поэтому . Биссектрисы делят их пополам, и в треугольнике :
Так же для углов и при боковой стороне : .
Углы и четырёхугольника — противоположные (они смежные с и или равны им как вертикальные), поэтому
Сумма противоположных углов равна , значит, около четырёхугольника можно описать окружность.
Ответ: утверждение доказано.
