Номер 810 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Доказательство:

Из условия следует, что и $\angle B+\angle D=360^{\circ }-180^{\circ }=180^{\circ }$.

Около треугольника $ABC$ опишем окружность. Предположим, что точка $D$ не лежит на ней. Луч $AD$ пересекает окружность в точке $D^{\prime }$, отличной от $A$.

Четырёхугольник $ABC{D}^{\prime }$ вписан в окружность, поэтому

Но если $D$ лежит вне окружности, то $D^{\prime }$ лежит между $A$ и $D$, и угол $A{D}^{\prime }C$ — внешний угол треугольника $C{D}^{\prime }D$, то есть больше внутреннего угла $ADC$. Если же $D$ лежит внутри окружности, больше оказывается угол $ADC$.

В обоих случаях получаем противоречие с равенством $\angle A{D}^{\prime }C=\angle ADC$, значит, точка $D$ лежит на окружности, и около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.