Номер 917 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$O$ — центр описанной окружности, $R$ — её радиус

$I$ — центр вписанной окружности, $r$ — её радиус

$d = O I$

Доказать:

$d^{2} = R^{2} - 2 R r$

Доказательство:

Чертёж к задаче 917 — диаметр PQ через центр вписанной окружности и хорда AW

Проведём через точку $I$ диаметр $PQ$ описанной окружности, а прямую $A I$ продолжим до пересечения с окружностью в точке $W$ . Хорды $PQ$ и $A W$ пересекаются в точке $I$ :

A I \cdot I W = P I \cdot I Q = (R + d) (R - d) = R^{2} - d^{2}

Чертёж к задаче 917 — точка касания K на AB и точка Z, диаметрально противоположная W

Теперь найдём $A I \cdot I W$ по-другому. Угол $∠ B I W$ — внешний угол треугольника $A B I$ :

∠ B I W = ∠ B A I + ∠ A B I = \frac{∠ A}{2} + \frac{∠ B}{2}

Вписанные углы $∠ CB W$ и $∠ C A W$ опираются на дугу $C W$ , поэтому

∠ I B W = ∠ I BC + ∠ CB W = \frac{∠ B}{2} + \frac{∠ A}{2} = ∠ B I W

Треугольник $B I W$ равнобедренный:

W I = W B

Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной $A B$ , а $Z$ — точка, диаметрально противоположная $W$ . Тогда $∠ A K I = 9 0^{\circ}$ (радиус в точку касания), $∠ ZB W = 9 0^{\circ}$ (опирается на диаметр), а вписанные углы $∠ K A I$ и $∠ BZ W$ опираются на дугу $B W$ :

△ A K I \sim △ ZB W, \frac{A I}{Z W} = \frac{I K}{W B}

A I \cdot W B = Z W \cdot I K = 2 R \cdot r

Так как $I W = W B$ , получаем $A I \cdot I W = 2 R r$ . Сравним с первым равенством:

R^{2} - d^{2} = 2 R r, d^{2} = R^{2} - 2 R r

Ответ: утверждение доказано.

Номер 917 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели