Номер 916 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№916. Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

Дано:

$A BC D$ вписан в окружность

Доказать:

$A C \cdot B D = A B \cdot C D + BC \cdot A D$

Чертёж к задаче 916 — вписанный четырёхугольник ABCD и точка K на диагонали AC

Доказательство:

Отметим на диагонали $A C$ точку $K$ так, что $∠ A B K = ∠ D BC$ .

Вписанные углы $∠ B A K$ и $∠ B D C$ опираются на дугу $BC$ , поэтому $△ A B K \sim △ D BC$ по двум углам:

\frac{A K}{D C} = \frac{A B}{D B}, A K \cdot D B = A B \cdot D C

Из равенства $∠ A B K = ∠ D BC$ следует $∠ A B D = ∠ K BC$ . Вписанные углы $∠ BC K$ и $∠ B D A$ опираются на дугу $A B$ , значит $△ B K C \sim △ B A D$ :

\frac{K C}{A D} = \frac{BC}{B D}, K C \cdot B D = BC \cdot A D

Сложим два равенства:

(A K + K C) \cdot B D = A B \cdot C D + BC \cdot A D

A C \cdot B D = A B \cdot C D + BC \cdot A D

Ответ: утверждение доказано.

Номер 916 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели