Номер 913 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№913. Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.

Дано:

$A BC D$ вписан в окружность с центром $O$ радиуса $R$

$A C ⊥ B D$

Доказать:

$A B^{2} + C D^{2} = (2 R)^{2}$

Чертёж к задаче 913 — вписанный четырёхугольник ABCD с перпендикулярными диагоналями и диаметром BB₁

Доказательство:

Проведём диаметр $B B_{1}$ . Угол между пересекающимися хордами равен полусумме заключённых между ними дуг:

9 0^{\circ} = \frac{1}{2} (⌣ A B + ⌣ C D), ⌣ A B + ⌣ C D = 18 0^{\circ}

Дуга $B A B_{1}$ — полуокружность, поэтому

⌣ A B + ⌣ A B_{1} = 18 0^{\circ}

Сравнивая два равенства, получаем $⌣ A B_{1} = ⌣ C D$ , а равные дуги стягиваются равными хордами:

A B_{1} = C D

Угол $∠ B A B_{1}$ опирается на диаметр, значит он прямой. По теореме Пифагора в $△ B A B_{1}$ :

A B^{2} + A B_{1}^{2} = B B_{1}^{2} = (2 R)^{2}

A B^{2} + C D^{2} = (2 R)^{2}

Для сторон $BC$ и $A D$ рассуждение то же.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 913 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели