Номер 914 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ вписан в окружность

биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $P$ , $P \in C D$

Доказать:

$C D = BC + A D$

Доказательство:

Отметим на стороне $C D$ точку $E$ так, что $D E = D A$ . Треугольник $A D E$ равнобедренный:

∠ D E A = \frac{1}{2} (18 0^{\circ} - ∠ D) = 9 0^{\circ} - \frac{∠ D}{2}

У вписанного четырёхугольника суммы противоположных углов равны $18 0^{\circ}$ , поэтому $∠ D = 18 0^{\circ} - ∠ B$ и

∠ D E A = \frac{∠ B}{2} = ∠ A BP

Углы $∠ A EP$ и $∠ D E A$ смежные, значит $∠ A EP + ∠ A BP = 18 0^{\circ}$ — около четырёхугольника $A BPE$ можно описать окружность.

Вписанные углы $∠ BEP$ и $∠ B A P$ опираются на одну дугу $BP$ , а луч $EP$ совпадает с лучом $EC$ :

∠ BEC = ∠ B A P = \frac{∠ A}{2}

В треугольнике $BEC$ угол $∠ BCE = ∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ A$ , поэтому

∠ EBC = 18 0^{\circ} - \frac{∠ A}{2} - (18 0^{\circ} - ∠ A) = \frac{∠ A}{2} = ∠ BEC

Треугольник $BEC$ равнобедренный, $CE = CB$ . Тогда

C D = D E + EC = D A + CB

Ответ: утверждение доказано.