№908. Через каждую вершину треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника .
Дано:
через , , проведены прямые, перпендикулярные биссектрисам этих углов
Доказать:
вершины нового треугольника лежат на биссектрисах
Доказательство:
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому прямая, проведённая через вершину перпендикулярно биссектрисе угла треугольника, — это биссектриса внешнего угла при этой вершине.
Пусть — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах и . Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, поэтому
Значит, лежит на биссектрисе угла, образованного прямыми и . Точка лежит внутри угла (по другую сторону от ), поэтому это биссектриса угла треугольника .
Для двух других вершин нового треугольника рассуждение то же.
Ответ: утверждение доказано.
