Номер 909 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№909. Пусть $H$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника $A BC$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ — точки, симметричные точке $H$ относительно прямых $BC$ , $C A$ , $A B$ , а $A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ — точки, симметричные точке $H$ относительно середин сторон $BC$ , $C A$ , $A B$ . Докажите, что точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , $A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ лежат на окружности, описанной около треугольника $A BC$ .

Дано:

$H$ — точка пересечения высот $△ A BC$

$A_{1}$ — симметрична $H$ относительно $BC$

$A_{2}$ — симметрична $H$ относительно середины $BC$

Доказать:

все шесть точек лежат на описанной окружности

Чертёж к задаче 909 — треугольник ABC, описанная окружность, ортоцентр H и точки A₁, A₂

Доказательство:

Пусть $B_{0}$ и $C_{0}$ — основания высот из $B$ и $C$ . В четырёхугольнике $A B_{0} H C_{0}$ два угла прямые, поэтому

∠ B_{0} H C_{0} = 18 0^{\circ} - ∠ A, ∠ B H C = 18 0^{\circ} - ∠ A

Точка $A_{1}$ симметрична $H$ относительно $BC$ , поэтому $∠ B A_{1} C = ∠ B H C = 18 0^{\circ} - ∠ A$ . В четырёхугольнике $A B A_{1} C$ сумма противоположных углов равна $18 0^{\circ}$ , значит, около него можно описать окружность — и это описанная окружность треугольника $A BC$ .

Пусть $A^{'}$ — точка, диаметрально противоположная $A$ . Углы $A B A^{'}$ и $A C A^{'}$ прямые (опираются на диаметр), поэтому $B A^{'} ∥ C H$ и $C A^{'} ∥ B H$ , то есть $B H C A^{'}$ — параллелограмм. Его диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит, середина $BC$ — середина $H A^{'}$ и

A_{2} = A^{'}

Точка $A^{'}$ лежит на описанной окружности. Для точек $B_{1}$ , $C_{1}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ рассуждение то же.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 909 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели