№912. Произвольная точка окружности, описанной около равностороннего треугольника , соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков , и равен сумме двух других отрезков.
Дано:
— равносторонний, вписан в окружность
— на дуге , не содержащей
Доказать:
Доказательство:
Отметим на отрезке точку так, что .
Угол — вписанный, опирается на дугу , как и угол , поэтому
Треугольник равнобедренный с углом при вершине, значит, он равносторонний:
Углы и равны, так как получаются из угла вычитанием равных углов :
Треугольники и равны по двум сторонам (, ) и углу между ними, поэтому
Ответ: — утверждение доказано.
