Номер 920 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

окружности с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$

их радиусы $r_{1}$ и $r_{2}$ , $r_{1} > r_{2}$

Построить:

общую касательную к двум окружностям

Чертёж к задаче 920 — вспомогательная окружность радиуса r₁ − r₂ и общая касательная AB

Построение:

1) Окружность с центром $O_{1}$ радиуса $r_{1} - r_{2}$ .

2) Касательную $O_{2} T$ к ней из точки $O_{2}$ (задача 761); $T$ — точка касания.

3) Луч $O_{1} T$ пересекает бо́льшую окружность в точке $A$ .

4) Прямую через $O_{2}$ , параллельную $O_{1} A$ ; она пересекает меньшую окружность в точке $B$ с той же стороны, что и $A$ .

5) Прямая $A B$ — искомая.

Доказательство:

По построению $∠ O_{1} T O_{2} = 9 0^{\circ}$ , значит $T O_{2} ⊥ O_{1} A$ . Кроме того

T A = O_{1} A - O_{1} T = r_{1} - (r_{1} - r_{2}) = r_{2} = O_{2} B

Отрезки $T A$ и $O_{2} B$ равны и параллельны, поэтому $T A B O_{2}$ — параллелограмм и $A B ∥ T O_{2}$ . Тогда

A B ⊥ O_{1} A, A B ⊥ O_{2} B

Прямая $A B$ касается обеих окружностей.

Вторая внешняя касательная строится симметрично относительно прямой $O_{1} O_{2}$ . Внутренние общие касательные строятся так же, только вспомогательную окружность берут радиуса $r_{1} + r_{2}$ .

Ответ: прямая $A B$ ; число общих касательных зависит от взаимного расположения окружностей.

Номер 920 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели