Номер 919 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$D$ — точка окружности, описанной около $△ A BC$

$H$ , $K$ , $M$ — основания перпендикуляров из $D$ к $A B$ , $A C$ , $BC$

Доказать:

$H$ , $K$ , $M$ лежат на одной прямой

Чертёж к задаче 919 — точка D на описанной окружности и основания перпендикуляров H, K, M

Доказательство:

Углы $∠ A HD$ и $∠ A KD$ прямые, поэтому точки $A$ , $H$ , $D$ , $K$ лежат на окружности с диаметром $A D$ . Углы $∠ DK C$ и $∠ D MC$ прямые, поэтому точки $D$ , $K$ , $M$ , $C$ лежат на окружности с диаметром $D C$ .

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:

∠ A KH = ∠ A DH, ∠ M K C = ∠ M D C

В прямоугольных треугольниках $A DH$ и $C D M$ :

∠ A DH = 9 0^{\circ} - ∠ D A B, ∠ M D C = 9 0^{\circ} - ∠ D CB

Вписанные углы $∠ D A B$ и $∠ D CB$ опираются на дугу $D B$ , значит они равны, а тогда

∠ A KH = ∠ A DH = ∠ M D C = ∠ M K C

Точка $K$ лежит на прямой $A C$ , поэтому лучи $K A$ и $K C$ противоположны. Равные углы $∠ A KH$ и $∠ C K M$ при противоположных лучах — вертикальные, значит лучи $KH$ и $K M$ тоже противоположны.

Точки $H$ , $K$ , $M$ лежат на одной прямой.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 919 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели