Номер 918 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Доказательство:

Пусть $N$ — середина отрезка $OH$.

Отметим точку $A^{\prime }$, симметричную $H$ относительно точки $A_3$. Тогда $BHC{A}^{\prime }$ — параллелограмм, поэтому $A^{\prime }B\parallel CH$. Так как $CH\perp AB$, то $\angle AB{A}^{\prime }=90^{\circ }$ и $A{A}^{\prime }$ — диаметр описанной окружности (задача 909). В треугольнике $AH{A}^{\prime }$ точка $O$ — середина $A{A}^{\prime }$, точка $A_3$ — середина $H{A}^{\prime }$, значит $O{A}_3$ — средняя линия:

Отрезки $A{A}_2$ и $O{A}_3$ равны $\frac{1}{2}AH$, параллельны и одинаково направлены, поэтому $A{A}_2{A}_{3}O$ — параллелограмм:

Отрезки $A_{2}H$ и $O{A}_3$ тоже равны и параллельны, значит $A_{2}H{A}_{3}O$ — параллелограмм. Его диагонали $A_2{A}_3$ и $HO$ точкой пересечения делятся пополам, поэтому середина $A_2{A}_3$ — это точка $N$.

Итак, $A_2{A}_3$ — отрезок длины $R$ с серединой $N$: точки $A_2$ и $A_3$ лежат на окружности с центром $N$ радиуса $\frac{R}{2}$.

Точка $A_1$ лежит на прямой $A{A}_1$, на которой лежит и $A_2$, а точка $A_3$ — на прямой $BC$. Так как $A{A}_1\perp BC$:

Значит $A_1$ лежит на окружности с диаметром $A_2{A}_3$ — на той же самой окружности (треугольник неравносторонний, поэтому $A_1\ne A_3$).

Для точек $B_1,B_2,B_3$ и $C_1,C_2,C_3$ рассуждение то же. Все девять точек лежат на окружности с центром $N$ — серединой $OH$ — радиуса $\frac{R}{2}$.