Номер 925 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Анализ:

Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, для которого $A_1$, $B_1$, $C_1$ — основания высот. По задаче 862 высоты треугольника $ABC$ являются биссектрисами углов треугольника $A_1{B}_1{C}_1$, значит точка $H$ пересечения высот — центр вписанной окружности треугольника $A_1{B}_1{C}_1$.

Стороны треугольника $ABC$ проходят через точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ перпендикулярно этим биссектрисам (задача 908), то есть являются биссектрисами внешних углов треугольника $A_1{B}_1{C}_1$.

Построение:

1) Строим биссектрисы внешних углов треугольника $A_1{B}_1{C}_1$.

2) Точки их попарного пересечения — вершины $A$, $B$, $C$ искомого треугольника.

Число решений:

Каждая из точек $A$, $B$, $C$, $H$ является точкой пересечения высот треугольника с вершинами в трёх остальных, и у всех четырёх треугольников одни и те же основания высот $A_1$, $B_1$, $C_1$:

Треугольник $ABC$ остроугольный, остальные три — тупоугольные.