Номер 910 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№910. Отрезок $B D$ — биссектриса треугольника $A BC$ . Докажите, что $B D^{2} = A B \cdot BC - A D \cdot D C$ .

Дано:

$B D$ — биссектриса $△ A BC$ , $D \in A C$

Доказать:

$B D^{2} = A B \cdot BC - A D \cdot D C$

Доказательство:

Продолжим биссектрису до пересечения с описанной окружностью в точке $E$ .

Треугольники $A BE$ и $D BC$ подобны: углы при $B$ равны (биссектриса), а $∠ A EB = ∠ A CB$ — вписанные углы, опирающиеся на дугу $A B$ :

\frac{A B}{D B} = \frac{BE}{BC}, A B \cdot BC = B D \cdot BE

По свойству пересекающихся хорд $A C$ и $BE$ :

A D \cdot D C = B D \cdot D E

Вычитаем:

A B \cdot BC - A D \cdot D C = B D \cdot BE - B D \cdot D E = B D (BE - D E) = B D \cdot B D

B D^{2} = A B \cdot BC - A D \cdot D C

Ответ: утверждение доказано.