Номер 915 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№915. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

Дано:

трапеция $A BC D$ описана около окружности радиуса $r$

$A B ⊥ A D$ , $A D = a$ , $BC = b$

Доказать:

$S = ab$

Доказательство:

Боковая сторона $A B$ перпендикулярна обоим основаниям, поэтому она равна диаметру вписанной окружности:

A B = 2 r

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны:

A D + BC = A B + C D, C D = a + b - 2 r

Проведём $C H ⊥ A D$ . Тогда $C H = 2 r$ , $HD = a - b$ , и по теореме Пифагора:

C D^{2} = (2 r)^{2} + (a - b)^{2}

(a + b - 2 r)^{2} = 4 r^{2} + (a - b)^{2}

4 ab = 4 r (a + b), r = \frac{ab}{a + b}

Площадь трапеции:

S = \frac{a + b}{2} \cdot A B = \frac{a + b}{2} \cdot 2 r = (a + b) r = ab

Ответ: утверждение доказано.