Номер 207, часть 1 — ГДЗ Вероятность и статистика 8 класс Высоцкий, Ященко

Нарисуем два пересекающихся круга $A$ и $B$ и закрасим левую часть каждого равенства, а потом — правую. Если закрашенные области совпадают при любом расположении кругов, равенство верно.

а) Сначала $B\cap A$ — общая часть кругов (середина). Теперь объединяем её с кругом $A$: общая часть уже лежит внутри $A$, поэтому ничего нового не добавляется. Получаем весь круг $A$: $A\cup (B\cap A)=A$. Справа стоит $B$ — весь круг $B$, который отличается от круга $A$ (у него есть часть, которой нет в $A$). Значит, равенство $A\cup (B\cap A)=B$ неверно (оно было бы верным только при $A=B$). Пример: $A=\{1\}$, $B=\{2\}$: левая часть равна $\{1\}\cup \varnothing =\{1\}$, а правая — $\{2\}$.

б) Сначала $B\cup A$ — оба круга вместе. Теперь берём общую часть с кругом $A$: весь круг $A$ лежит внутри $B\cup A$, поэтому пересечение — это весь круг $A$. Получаем $A\cap (B\cup A)=A$ — равенство верное.

Оба равенства следуют из свойства: если $X\subset Y$, то $X\cap Y=X$ и $X\cup Y=Y$. В а) множество $B\cap A$ — подмножество $A$, поэтому $A\cup (B\cap A)=A$; в б) множество $A$ — подмножество $B\cup A$, поэтому $A\cap (B\cup A)=A$.