Номер 311, часть 1 — ГДЗ Вероятность и статистика 8 класс Высоцкий, Ященко

Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 1, с. 160, §42

№311. Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ , и их среднее арифметическое равно $\overset{x}{ˉ}$ . Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю:

$(x_{1} - \overset{x}{ˉ}) + (x_{2} - \overset{x}{ˉ}) + (x_{3} - \overset{x}{ˉ}) + \dots + (x_{n} - \overset{x}{ˉ}) = 0.$

Дано:

набор чисел $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ со средним арифметическим $\overset{x}{ˉ}$

Доказать:

доказать, что $(x_{1} - \overset{x}{ˉ}) + \dots + (x_{n} - \overset{x}{ˉ}) = 0$

Среднее арифметическое набора из $n$ чисел по определению равно

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} .

Умножим обе части на $n$ :

x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = n \cdot \overset{x}{ˉ} .

Раскроем скобки в левой части доказываемого равенства. Число $\overset{x}{ˉ}$ вычитается ровно $n$ раз (из каждого из $n$ чисел):

(x_{1} - \overset{x}{ˉ}) + (x_{2} - \overset{x}{ˉ}) + \dots + (x_{n} - \overset{x}{ˉ}) = (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) - n (\overset{x}{ˉ} + \overset{x}{ˉ} + \dots + \overset{x}{ˉ}) = (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) - n \cdot \overset{x}{ˉ} .

По первой формуле $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = n \cdot \overset{x}{ˉ}$ , значит, разность равна

n \cdot \overset{x}{ˉ} - n \cdot \overset{x}{ˉ} = 0.

Что и требовалось доказать.

Пример для проверки: у набора $4, 3, 0, 5$ среднее равно $3$ , отклонения $1, 0, - 3, 2$ , и $1 + 0 - 3 + 2 = 0$ .

Вывод: сумма отклонений от среднего арифметического равна $0$ .

Номер 311, часть 1 — ГДЗ Вероятность и статистика 8 класс Высоцкий, Ященко

🕒 Вы недавно смотрели