Номер 1081 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1081. Докажите, что точка $D$ равноудалена от точек $A$ , $B$ и $C$ , если:

а) $D (1; 1)$ , $A (5; 4)$ , $B (4; - 3)$ , $C (- 2; 5)$ ;

б) $D (1; 0)$ , $A (7; - 8)$ , $B (- 5; 8)$ , $C (9; 6)$ .

Доказательство:

Находим расстояние от точки $D$ до каждой точки по стандартной формуле.

Пункт а) $D (1; 1), A (5; 4), B (4; - 3), C (- 2; 5)$

D A = (5 - 1)^{2} + (4 - 1)^{2} = 16 + 9 = 5

D B = (4 - 1)^{2} + (- 3 - 1)^{2} = 9 + 16 = 5

D C = (- 2 - 1)^{2} + (5 - 1)^{2} = 9 + 16 = 5

$D A = D B = D C = 5 \Rightarrow D$ равноудалена от точек $A, B$ и $C$ .

Как видно на графике, все эти три точки лежат на одной окружности с центром в точке D.

Пункт б) $D (1; 0), A (7; - 8), B (- 5; 8), C (9; 6)$

D A = (7 - 1)^{2} + (- 8 - 0)^{2} = 36 + 64 = 10

D B = (- 5 - 1)^{2} + (8 - 0)^{2} = 36 + 64 = 10

D C = (9 - 1)^{2} + (6 - 0)^{2} = 64 + 36 = 10

$D A = D B = D C = 10 \Rightarrow D$ равноудалена от точек $A, B$ и $C$ .

Снова окружность (радиуса 10 с центром в D), на которой лежат все три точки.

Ч.т.д.