Номер 1118 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1118. Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна $a$ , а прилежащие к этой стороне углы равны $α$ и $β$ .

Дано:

$△ A BC$ , $BC = a$ , $∠ B = α$ , $∠ C = β$ ;
$A D$ , $BE$ , $CF$ — биссектрисы

Найти:

$A D$ , $BE$ , $CF$

Чертёж к задаче 1118 — треугольник ABC с тремя биссектрисами AD, BE и CF

Решение:

1) В △ BCE : ∠ C = β, ∠ CBE = \frac{α}{2} ⟹ ∠ CEB = 18 0^{\circ} - (β + \frac{α}{2})

\frac{BE}{sin β} = \frac{a}{sin ∠ CEB} ⟹ BE = \frac{a sin β}{sin ( β + \frac{α}{2} )}

2) В △ BCF : ∠ B = α, ∠ BCF = \frac{β}{2} ⟹ ∠ CFB = 18 0^{\circ} - (α + \frac{β}{2})

\frac{CF}{sin α} = \frac{a}{sin ∠ CFB} ⟹ CF = \frac{a sin α}{sin ( α + \frac{β}{2} )}

3) В △ A BC : ∠ A = 18 0^{\circ} - (α + β) ⟹ A B = \frac{a sin β}{sin ( α + β )}

В △ A B D : ∠ B = α, ∠ D A B = \frac{18 0 ^{\circ} - ( α + β )}{2} = 9 0^{\circ} - \frac{α + β}{2}

∠ A D B = 18 0^{\circ} - α - (9 0^{\circ} - \frac{α + β}{2}) = 9 0^{\circ} - \frac{α - β}{2}

\frac{A D}{sin α} = \frac{A B}{sin ∠ A D B} ⟹ A D = \frac{a sin α sin β}{sin ( α + β ) cos \frac{α - β}{2}}

Ответ: $A D = \frac{a s i n α s i n β}{s i n ( α + β ) c o s \frac{α - β}{2}}$ , $BE = \frac{a s i n β}{s i n ( β + \frac{α}{2} )}$ , $CF = \frac{a s i n α}{s i n ( α + \frac{β}{2} )}$ .

Номер 1118 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели