Номер 1122 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1122. Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Дано:

$△ A BC$ вписан в окружность $(O; R)$ ;
$BC = a$

Доказать:

$\frac{a}{s i n A} = 2 R$

Доказательство:

1) Проведём диаметр B A_{1} = 2 R и рассмотрим △ BC A_{1} .

Угол C опирается на диаметр ⟹ ∠ BC A_{1} = 9 0^{\circ} .

В △ BC A_{1} : sin A_{1} = \frac{BC}{B A _{1}} = \frac{a}{2 R} ⟹ 2 R = \frac{a}{sin A _{1}} .

2) Если ∠ A острый (рис . а), то ∠ A = ∠ A_{1} (опираются на дугу \cup BC) .

sin A = sin A_{1} ⟹ \frac{a}{sin A} = 2 R .

3) Если ∠ A тупой (рис . б), то A BC A_{1} — вписанный четырёхугольник :

∠ A + ∠ A_{1} = 18 0^{\circ} ⟹ ∠ A_{1} = 18 0^{\circ} - ∠ A

sin A_{1} = sin (18 0^{\circ} - ∠ A) = sin A ⟹ \frac{a}{sin A} = 2 R .

4) Если ∠ A = 9 0^{\circ}, то a = 2 R и sin 9 0^{\circ} = 1 ⟹ \frac{a}{sin A} = 2 R .

Теорема доказана .

Ответ: $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ — доказано.