Номер 1115 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1115. В треугольнике $A BC$ известно, что $A C = 12$ см, $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и $S_{A BC}$ .

Дано:

$△ A BC$ , $A C = 12$ см,
$∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$

Найти:

$A B$ , $S_{A BC}$

Решение:

1) ∠ B = 18 0^{\circ} - (7 5^{\circ} + 6 0^{\circ}) = 4 5^{\circ}

2) По теореме синусов : \frac{A B}{sin C} = \frac{A C}{sin B}

A B = \frac{12 sin 6 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ}} = \frac{12 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{2}{2}} = 66 (см)

3) Проведём высоту A E ⊥ BC .

В △ A EC (∠ E = 9 0^{\circ}) : A E = 12 sin 6 0^{\circ} = 63, CE = 12 cos 6 0^{\circ} = 6

4) В △ A EB (∠ E = 9 0^{\circ}) : ∠ B = 4 5^{\circ} ⟹ BE = A E = 63

5) BC = BE + CE = 63 + 6

6) S = \frac{1}{2} BC \cdot A E = \frac{1}{2} (63 + 6) \cdot 63 = 33 (63 + 6)

S = 54 + 183 (см^{2})

Ответ: $A B = 66$ см, $S = 54 + 183$ см².