Номер 1119 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1119. Смежные стороны параллелограмма равны $a$ и $b$ , а один из его углов равен $α$ . Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм,
$A B = a$ , $A D = b$ , $∠ A = α$

Найти:

$B D$ , $A C$ , $φ$ — угол между диагоналями

Чертёж к задаче 1119 — параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD

Решение:

1) В △ A B D по теор . косинусов : B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2 A B \cdot A D cos ∠ A

B D = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos α

2) В △ A BC : ∠ B = 18 0^{\circ} - α

A C^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos (18 0^{\circ} - α) = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos α

A C = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos α

3) O = A C \cap B D; в △ A O D : A O = \frac{A C}{2}, D O = \frac{B D}{2}, ∠ A O D = φ

A D^{2} = A O^{2} + D O^{2} - 2 A O \cdot D O cos φ

b^{2} = \frac{A C ^{2}}{4} + \frac{B D ^{2}}{4} - 2 \frac{A C}{2} \frac{B D}{2} cos φ ⟹ 4 b^{2} = A C^{2} + B D^{2} - 2 A C \cdot B D cos φ

4 b^{2} = (a^{2} + b^{2} + 2 ab cos α) + (a^{2} + b^{2} - 2 ab cos α) - 2 A C \cdot B D cos φ

2 A C \cdot B D cos φ = 2 a^{2} - 2 b^{2} ⟹ cos φ = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{A C \cdot B D}

Ответ: $d_{1} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos α$ , $d_{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos α$ , $φ = arccos \frac{a ^{2} - b ^{2}}{( a ^{2} + b ^{2} ) ^{2} - 4 a ^{2} b ^{2} c o s ^{2} α}$ .

Номер 1119 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели