Номер 1131 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1131. В равностороннем треугольнике $A BC$ со стороной $a$ проведена высота $B D$ . Вычислите скалярное произведение векторов:

а) $A B \cdot A C$ ; б) $A C \cdot CB$ ; в) $A C \cdot B D$ ; г) $A C \cdot A C$ .

Дано:

$△ A BC$ — равносторонний, $A B = BC = C A = a$ , $B D ⊥ A C$

Найти:

$A B \cdot A C$ , $A C \cdot CB$ , $A C \cdot B D$ , $A C \cdot A C$

Решение:

∠ A = ∠ B = ∠ C = 6 0^{\circ}, ∣ A B ∣ = ∣ BC ∣ = ∣ C A ∣ = a

а) A B \cdot A C = a \cdot a \cdot cos 6 0^{\circ} = a^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a ^{2}}{2}

б) A C \cdot CB = a \cdot a \cdot cos 12 0^{\circ} = a^{2} \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{a ^{2}}{2}

в) A C \cdot B D = a \cdot \frac{a 3}{2} \cdot cos 9 0^{\circ} = 0

г) A C \cdot A C = ∣ A C ∣^{2} \cdot cos 0^{\circ} = a^{2} \cdot 1 = a^{2}

Ответ: а) $\frac{a ^{2}}{2}$ ; б) $- \frac{a ^{2}}{2}$ ; в) $0$ ; г) $a^{2}$ .