№1247. Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.
Дано:
отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя
Доказать:
— наложение
Доказательство:
1) Пусть и — любые две точки. Их образы — те же точки и , поэтому расстояние между образами равно . Значит, отображение сохраняет расстояния.
2) Каждая точка плоскости является образом самой себя и только себя, то есть отображает плоскость на себя взаимно однозначно.
3) Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния, — это движение. Итак, — движение.
4) По теореме п. 124 любое движение является наложением. Следовательно, — наложение.
Ответ: что и требовалось доказать.
