Номер 1255 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство:

Пусть движение $f$ отображает точки $M$ и $N$ в точки $M_1$ и $N_1$, а затем движение $g$ отображает их в точки $M_2$ и $N_2$. Отображение $h$ ставит в соответствие точке $M$ точку $M_2$.

1) Расстояния сохраняются: $M_1{N}_1=MN$ (движение $f$), $M_2{N}_2=M_1{N}_1$ (движение $g$). Значит, $M_2{N}_2=MN$.

2) Разные точки переходят в разные: если $M\ne N$, то $M_2{N}_2=MN>0$, и $M_2\ne N_2$.

3) Любая точка $K$ плоскости — образ некоторой точки $L$ при $g$ (это отображение плоскости на себя), а $L$ — образ некоторой точки $M$ при $f$. Значит, $K$ — образ точки $M$ при $h$, то есть $h$ отображает плоскость на себя.

4) Итак, $h$ — взаимно однозначное отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Это движение.